uniのスケッチノート

しがない数学徒の勉強ノートなど

Barr の定理(修正版)

 数日前に書いたこちらの記事の pdf ではアヤシイ部分がありました。

unununum.hatenablog.com

 

当該箇所の証明を付けたり、色々と加筆&修正したものがこちらになります。

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(この証明を書いているときに、フィルターとネットの pdf にある Manes の定理の証明で訳の分からないことを書いている箇所を見つけました...。その部分はこちらの pdf にある証明を変形することで修正できます。)

位相空間の定義

この記事と pdf は Math Advent Calendar 2017 の 15日目に向けて書いたものです。

Math Advent Calendar 2017 - Adventar

 

pdf はこちらから。

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いい機会なので、これまでこのブログに up してきた pdf (フィルターとネット

のやつや一昨日のBarr の定理) の繋がりが分かるように、位相空間の定義を知らない人でも(前半は)読めるように書きました。

 

(本当のことを言えば、Barr の定理でネタを消費してしまったのと、書く時間をあまり取ることが出来なかったのが理由です...。後半は雑な書き方になってます。すみません。気が向くかもしくは需要があれば書き直します...。)

Barr の定理

この記事と pdf は Category Theory Advent Calendar 2017 の 12日目に向けて書いたものです。

Category Theory Advent Calendar 2017 - Adventar

 

pdf はこちらから。

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3/2-圏(順序圏)についての話と告知していたので、Barr の定理の証明を書こうと思いました。しかし今朝、肝心の証明に1箇所アヤシイ部分を見つけてしまったので、この pdf はお話程度に捉えて下さい。また急いで書いたこともあり、自分が以前拵えたフィルターの pdf にある内容を少し使っています。*1

 

この pdf の内容ですが、lax algebra の定義をして Barr の定理を述べる、というものになっています。この lax algebra の定義の際に、前回の2-圏の pdf で述べた lax functor や lax natural transformation が使われます。(とはいっても、lax algebra を定義するときに double category の言葉を用いる方がより自然な感じになるらしいのですが...。)

 

Barr の定理とは、位相空間連続写像の圏 Top を、超フィルターモナド U と典型的な quantale (locale の非可換版のようなもの) である 2 に関する lax algebra 達がなす圏 (U, 2)-Sp が同型であると述べるものです。 私が面白いと思うのは、この U や 2 といパラメーターを変えることで、様々な圏が統一的にこの形で表現できることです。 例としては、順序集合の圏、距離空間の圏、approach space の圏などがあります。こうしたことを現在勉強中なので、いつか気が向いたら lax algebra について書こうと思います。

*1:[追記:17/12/16]修正版を作りました。

 

unununum.hatenablog.com

 

2-圏の定義

この記事と pdf は Category Theory Advent Calendar 2017 の 5日目に向けて書いたものです。

Category Theory Advent Calendar 2017 - Adventar

 

pdf はこちらから。*1

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 圏論の話をすることになったので、2-圏の定義を書きました。内容をもう少し詳しくいうと、1-圏と関手と自然変換の振り返りをし、その後で2-圏や lax functor や lax natural transformation や modification の定義を述べます。

射と条件がたくさん出てきて、図式を追跡するのが大変です。

この pdf での話は、来週予定の私の2回目の記事や、25日のぴあのんさんの記事でもたぶん使われます。

*1:[追記:17/12/05] 誤字を修正した。

(メモ書き)TeXstudio でのコマンド補完を手動で追加する方法

 

Texmaker でコマンド補完を追加する操作を、TeXstudio で再現する方法です。

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フィルターとネットの基本事項

 位相空間論で出てくるフィルターとネットについての基本的な事項を色々と書いたもの。まだ書きかけです。

 

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局所コンパクトの定義といくつかの反例

投稿テストのために突貫工事で作ったpdfです。

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