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フィルターとネットの基本事項

 位相空間論で出てくるフィルターとネットについての基本的な事項を色々と書いたもの。まだ書きかけです。

 

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 位相空間論の勉強をしているとき、フィルターやネットに関するまとまった知識が身についていないがために困ったことがあったので、自習用にこのpdfを作成しました。本来は10ページも書くつもりがなかったのですが、グダグダと書き続けていくうちに、だいぶ長くなってしまいました。

 

Key Words:

フィルター(filter), ネット(net), 超フィルター(ultrafilter), 部分ネット(subnet), 収束空間(convergence space), 前位相(pretopology), ストーン- チェック コンパクト化(Stone-Cech compactification)

 

 以下、このpdf(ver. 2.0)より概要、目次、参考文献の抜粋。

概要

 フィルターとネットというこの2つの概念は, 収束に関する性質を調べる際の基本的な道具として用いられる. 特にネットの一種として列(点列) がある. またフィルターとネットには互換性がある. どちらか一方についての主張を, 他方のものにも翻訳出来ることが多い. 本稿ではフィルターとネットの定義を行い, この2つが収束について同等かつ基礎的な役割を担うことを見る. その後, いくつかの応用例を取り上げる.

 

目次


用語と記法


1 フィルター


1.1 フィルターの定義
1.2 真フィルター
1.3 超フィルター
1.4 フィルターつき集合
1.5 フィルターに関するモナド


2 ネット


2.1 ネットの定義
2.2 ネットとフィルターの関係
2.3 部分ネット


3 収束


3.1 収束空間
3.2 位相空間と収束


4 応用


4.1 位相空間論との対応
4.2 コンパクト性とHausdorff 性
4.3 Stone-Cech コンパクト化
4.4 可算性と列
4.5 順序集合と収束
4.6 圏論的視点からの考察


5 例と反例


参考文献

 

参考文献

[1] F. Borceux. "Handbook of Categorical Algebra 1". Cambridge University Press.
1994.
[2] N. Bourbaki. 『ブルバキ数学原論| 位相1』. 東京図書株式会社. 1968.
[3] R. Engelking. "General Topology". Hedermann Verlag Berlin.
[4] D. Hofmann, G. J. Seal, W. Tholen. "Monoidal Topology --- A Categorical Approach to Order, Metric, and Topology". Cambridge University Press. 2014.
[5] J. L. Kelly 著, 児玉之宏訳. 『位相空間論』. 吉岡書店. 1974.
[6] 児玉之宏, 永見啓応. 『位相空間論』. 岩波書店. 2001.
[7] 森田紀一. 『位相空間論』. 岩波書店. 1981.
[8] E. Schchter. "Handbook of Analysis and its Foundations". Academic Press. 1997.
[9] M. Stekelenburg. "Ultralters and Topology". 2014.