uniのスケッチノート

しがない数学徒の勉強ノートなど

Barr の定理

この記事と pdf は Category Theory Advent Calendar 2017 の 12日目に向けて書いたものです。

Category Theory Advent Calendar 2017 - Adventar

 

pdf はこちらから。

www.dropbox.com

 

3/2-圏(順序圏)についての話と告知していたので、Barr の定理の証明を書こうと思いました。しかし今朝、肝心の証明に1箇所アヤシイ部分を見つけてしまったので、この pdf はお話程度に捉えて下さい。また急いで書いたこともあり、自分が以前拵えたフィルターの pdf にある内容を少し使っています。*1

 

この pdf の内容ですが、lax algebra の定義をして Barr の定理を述べる、というものになっています。この lax algebra の定義の際に、前回の2-圏の pdf で述べた lax functor や lax natural transformation が使われます。(とはいっても、lax algebra を定義するときに double category の言葉を用いる方がより自然な感じになるらしいのですが...。)

 

Barr の定理とは、位相空間連続写像の圏 Top を、超フィルターモナド U と典型的な quantale (locale の非可換版のようなもの) である 2 に関する lax algebra 達がなす圏 (U, 2)-Sp が同型であると述べるものです。 私が面白いと思うのは、この U や 2 といパラメーターを変えることで、様々な圏が統一的にこの形で表現できることです。 例としては、順序集合の圏、距離空間の圏、approach space の圏などがあります。こうしたことを現在勉強中なので、いつか気が向いたら lax algebra について書こうと思います。

*1:[追記:17/12/16]修正版を作りました。

 

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